Giải bài tập 5.48 trang 63

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: (frac{{x + 3}}{2} = frac{{y - 2}}{{ - 2}} = frac{{z + 1}}{1}) và mặt phẳng (P): (x + y - 2z + 3 = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng (P): $x + y - 2 z + 3 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Khi đó:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| a A + b B + c C |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận $\vec{u} (2; - 2; 1)$ làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (P) nhận $\vec{n} (1; 1; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\sin (d, (P)) = \frac{| 2.1 - 2.1 + 1. (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{2}{3 \sqrt{6}}$ .

$\Rightarrow (d, (P)) \approx 15, 8^{o}$ .