Giải bài tập 5.49 trang 63

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): (x + y + z - 1 = 0) và mặt phẳng Oxy.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): $x + y + z - 1 = 0$ và mặt phẳng Oxy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$ , $\vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos ((P), (Q)) = | \cos (\vec{n}, \vec{n^{'}}) | = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (P) nhận $\vec{n_{1}} (1; 1; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Oxy) nhận $\vec{k} (0; 0; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\cos ((P), (O x y)) = \frac{| 1.0 + 1.0 + 1.1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow ((P), (O x y)) \approx 54, 7^{o}$ .