Giải bài tập 5.49 trang 87

Đề bài

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với

mặt phẳng $\left(\alpha \right)$?

A. x – 3y + 3z – 7 = 0

B. 3x – 3y + z – 7 = 0

C. x + 2y – z – 8 = 0

D. x – 2y + z + 8 = 0

Lời giải chi tiết

* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha :2x+y-3z+8=0$. Vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2,1,-3)$.

* Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn:

- Mặt phẳng $A:x-3y+3z-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1,-3,3)$.

- Mặt phẳng $B:3x-3y+z-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_3}=(3,-3,1)$.

- Mặt phẳng $C:x+2y-z-8=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_4}=(1,2,-1)$.

- Mặt phẳng $D:x-2y+z+8=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_5}=(1,-2,1)$.

* Kiểm tra điều kiện vuông góc:

- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Cụ thể:

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0,\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_3}=0,\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_4}=0,\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_5}=0$

- Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\times 1+1\times (-3)+(-3)\times 3=2-3-9=-10\ne 0$

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_3}=2\times 3+1\times (-3)+(-3)\times 1=6-3-3=0$

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_4}=2\times 1+1\times 2+(-3)\times (-1)=2+2+3=7\ne 0$

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_5}=2\times 1+1\times (-2)+(-3)\times 1=2-2-3=-3\ne 0$

- Chỉ có phương trình mặt phẳng $B:3x-3y+z-7=0$ có tích vô hướng bằng 0 với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha$, tức là mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng $\alpha$.

Chọn B