Giải bài tập 5.5 trang 102

Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C, D thẳng hàng và OH⊥AB(H∈AB)OH⊥AB(H∈AB)OH \bot AB\left( {H \in AB} \right). a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD. b) Chứng minh rằng AC=BDAC=BDAC = BD. c) Biết bán kính đường tròn lớn là 10cm, CD=16cmCD=16cmCD = 16cm và AB=8

Đề bài

Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C, D thẳng hàng và $O H ⊥ A B (H \in A B)$ .

a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD.

b) Chứng minh rằng $A C = B D$ .

c) Biết bán kính đường tròn lớn là 10cm, $C D = 16 c m$ và $A B = 8 c m$ . Tính bán kính đường tròn nhỏ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xét đường tròn (O, OC) có: $O C = O D$ nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD.

Xét (O, OA) có: $O A = O B$ nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB.

b) Theo a ta có: $C H = H D$ , $A H = H B$ nên $C H - H A = H D - H B$ , suy ra $A C = B D$ .

c) Tam giác HOD vuông tại H nên $O H^{2} + H D^{2} = O D^{2}$

Tam giác HOB vuông tại H nên $O B^{2} = O H^{2} + H B^{2}$ , từ đó tính được bán kính đường tròn nhỏ.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O, OC) có: $O C = O D$ nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD. Do đó, $C H = H D$ .

Xét (O, OA) có: $O A = O B$ nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB. Do đó, $A H = H B$ .

b) Theo a ta có: $C H = H D$ , $A H = H B$ nên $C H - H A = H D - H B$ , suy ra $A C = B D$ .

c) Ta có:

$\begin{array}{l} H D = \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} .16 = 8 (c m), \\ H B = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} .8 = 4 (c m) \end{array}$ .

Tam giác HOD vuông tại H nên

$O H^{2} + H D^{2} = O D^{2}$ (định lí Pythagore),

suy ra $O H^{2}$ $= O D^{2} - H D^{2}$ $= 10^{2} - 8^{2}$ $= 36 (c m)$ .

Tam giác HOB vuông tại H nên

$O B^{2} = O H^{2} + H B^{2} = 36 + 4^{2} = 52$ (định lí Pythagore),

suy ra $O B = 2 \sqrt{13} c m$ .