Giải bài tập 5.5 trang 51

Đề bài

Tứ diện ABCD có các đỉnh $\left(A\right(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)$.

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(BCD\right)$.

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

Lời giải chi tiết

a)

Mặt phẳng $\left(ACD\right)$

- Tính các vectơ $\overrightarrow{AC}=(0;-1;1)$ và $\overrightarrow{AD}=(-1;-1;3).$

- Tích có hướng:

$\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=\left((-1).3-1.(-1);1.(-1)-0.3;0.(-1)-(-1).(-1)\right)=(-2;-1;-1)$

Phương trình mặt phẳng $\left(ACD\right)$ là:

$-2(x-5)-1(y-1)-1(z-3)=0$

Rút gọn:

$-2x+-y-z+14=0$

$2x+y+z-14=0$

Mặt phẳng $\left(BCD\right)$

- Tính các vectơ $\overrightarrow{BC}=(4;-6;2)$ và $\overrightarrow{BD}=(3;-6;4)$.

- Tích có hướng:

$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD}=\left((-6).4-2.(-6);2.3-4.4;4.(-6)-(-6).3\right)=(-12;-10;-6)$

Phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là:

$-12(x-1)-10(y-6)-6(z-2)=0$

Rút gọn:

$-12x-10y-6z+84=0$

Chia cả phương trình cho 2:

$6x+5y+3z-42=0$

b)

- Tính vectơ $\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1)$ và $\overrightarrow{CD}=(-1;0;2).$

- Vì mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD, nên tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left(5.2-(-1).0;(-1).(-1)-(-4).2;(-4).0-5.(-1)\right)=(10;6;5)$

Phương trình mặt phẳng là:

$10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0$

Rút gọn:

$10x+9y+5z-74=0$