Giải bài tập 5.50 trang 63

Đề bài

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos ((P), (Q)) = | \cos (\vec{n}, \vec{n^{'}}) | = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi 3 điểm cách nhau 2m trên mặt nước là A, B, C. Vị trí thả quả rọi xuống đáy bể lần lượt là A’, B’, C’ sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m. Chọn gốc tọa độ O tại trung điểm AB.

Khi đó, A(0; 1; 0) B(0; -1; 0) C( $\sqrt{3}$ ; 0; 0), A’(0; 1; 4), B’(0; -1; 4,4), C’ ( $\sqrt{3}$ ; 0; 4,8).

Ta có: $\vec{A^{'} B^{'}} = (0; - 2; 0, 4)$ , $\vec{B^{'} C^{'}} = (\sqrt{3}; 1; 0, 4)$ .

Mặt phẳng (A’B’C’) nhận $[\vec{A^{'} B^{'}}; \vec{B^{'} C^{'}}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $[\vec{A^{'} B^{'}}; \vec{B^{'} C^{'}}]$

$= (| \begin{matrix} - 2 & 0, 4 \\ 1 & 0, 4 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 0, 4 & 0 \\ 0, 4 & \sqrt{3} \end{matrix} |; | \begin{matrix} 0 & - 2 \\ \sqrt{3} & 1 \end{matrix} |)$

$= (\frac{- 6}{5}; \frac{2 \sqrt{3}}{5}; 2 \sqrt{3})$ .

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A’ B’ C’) nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (- \frac{6}{5}; \frac{2 \sqrt{3}}{5}; 2 \sqrt{3})$ .

Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Nên góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:

$\cos ((A^{'} B^{'} C^{'}), (O x y))$

$= \frac{| \frac{- 6}{5} .0 + \frac{2 \sqrt{3}}{5} .0 + 2 \sqrt{3} .1 |}{\sqrt{{(\frac{- 6}{5})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{5})}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$

$= \frac{5 \sqrt{29}}{29}$ .

$\Rightarrow ((A^{'} B^{'} C^{'}), (O x y)) \approx 21, 8^{o}$ .

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng $21, 8^{o}$ .