Giải bài tập 5.51 trang 87

Đề bài

Cho hai điểm $A (1; - 2; - 3)$ , $B (- 1; 4; 1)$ và đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với $d$ ?

A. $d^{'} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$

B. $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 2}{2}$

C. $d^{'} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$

D. $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Tính trung điểm của đoạn AB: Giả sử $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , trung điểm $I$ của đoạn thẳng AB có tọa độ:

$I (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$

* Xác định phương trình tham số của đường thẳng song song với $d$ :

Đường thẳng song song với $d$ sẽ có cùng vectơ chỉ phương với $d$ . Với đường thẳng $d$ , vectơ chỉ phương là $(1, - 1, 2)$ .

* Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $I$ và song song với $d$ : Phương trình sẽ có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y - y_{0}}{- 1} = \frac{z - z_{0}}{2}$

với $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ là tọa độ của điểm $I$ .

Lời giải chi tiết

* Tính tọa độ trung điểm $I$ của đoạn AB:

$I (\frac{1 + (- 1)}{2}, \frac{- 2 + 4}{2}, \frac{- 3 + 1}{2}) = (0, 1, - 1)$

* Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điểm $I (0, 1, - 1)$ và có vectơ chỉ phương $(1, - 1, 2)$ , giống với vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ .

* Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và song song với $d$ là:

$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$

Chọn C