Giải bài tập 5.53 trang 87

Đề bài

Cho hai đường thẳng $d_{1} : {\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 + 4 t (t \in R) \end{array}$ và $d_{2} : {\begin{array}{l} x = 3 + 4 t^{'} \\ y = 5 + 6 t^{'} \\ z = 7 + 8 t^{'} (t^{'} \in R) \end{array}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau.

B. $d_{1} ∥ d_{2}$ .

C. $d_{1} \equiv d_{2}$ .

D. $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song hay không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.

- Nếu không song song, kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay không bằng cách giải hệ phương trình tạo bởi phương trình tham số của hai đường thẳng.

- Nếu không thỏa mãn điều kiện nào ở trên, hai đường thẳng sẽ chéo nhau.

Lời giải chi tiết

* Vector chỉ phương của $d_{1}$ là $\vec{u} = (2, 3, 4)$ .

* Vector chỉ phương của $d_{2}$ là $\vec{v} = (4, 6, 8)$ .

* Ta thấy $\vec{v} = 2 \vec{u}$ , nghĩa là $d_{1} ∥ d_{2}$ .

* Kiểm tra xem $d_{1}$ có trùng với $d_{2}$ hay không bằng cách thay điểm trên $d_{1}$ vào phương trình của $d_{2}$ hoặc ngược lại:

Chọn điểm $A (1, 2, 3)$ trên $d_{1}$ . Thay vào phương trình của $d_{2}$ :

x = 3 + 4t', y = 5 + 6t', z = 7 + 8t'.

Giải hệ trên, ta không tìm được $t^{'}$ thỏa mãn, nên $d_{1}$ và $d_{2}$ không trùng nhau.

Do đó, đáp án đúng là $B$ : $d_{1} ∥ d_{2}$ .

Chọn B