Giải bài tập 5.6 trang 39

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x + y + z + 2 = 0$ , $(Q) : x + y + z + 6 = 0$ . Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : A x + B y + C z + D = 0$ , $(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ tương ứng. Khi đó, $(α) / / (β) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n^{'}} = k \vec{n} \\ D^{'} \neq k D \end{cases}$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{P}} = (1; 1; 1)$ , mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{Q}} = (1; 1; 1)$ . Vì $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}}$ và $2 \neq 6$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có:

$d (A, (Q)) = \frac{| 0 + 0 - 2 + 6 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên:

$d ((P), (Q)) = d (A, (Q)) = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .