Giải bài tập 5.7 trang 39

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (left( P right):x + 3y - z = 0,left( Q right):x - y - 2z + 1 = 0). a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 3 y - z = 0$ , $(Q) : x - y - 2 z + 1 = 0$ .

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : A x + B y + C z + D = 0$ , $(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ tương ứng. Khi đó, $(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow \vec{n} ⊥ \vec{n^{'}} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{P}} = (1; 3; - 1)$ , mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{Q}} = (1; - 1; - 2)$ .

Ta có: $\vec{n_{P}} . \vec{n_{Q}} = 1.1 + (- 1) .3 + (- 1) . (- 2) = 0$ nên $\vec{n_{P}} ⊥ \vec{n_{Q}}$ . Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Điểm M thuộc trục Ox nên $M (x; 0; 0)$ .

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên:

$d (M, (P)) = d (M, (Q))$

$\Rightarrow \frac{| x |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{| x + 1 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}}$

$\Rightarrow \frac{| x |}{\sqrt{11}} = \frac{| x + 1 |}{\sqrt{6}} \Rightarrow 6 x^{2} = 11 {(x + 1)}^{2}$

$\Rightarrow 5 x^{2} + 22 x + 11 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 11 - \sqrt{66}}{5} \\ x = \frac{- 11 + \sqrt{66}}{5} \end{array}$

Vậy $M (\frac{- 11 + \sqrt{66}}{5}; 0; 0); M (\frac{- 11 - \sqrt{66}}{5}; 0; 0)$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.