Giải bài tập 5.7 trang 52

Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua hai điểm (A(1;0;1)), (B(5;2;3)) và vuông góc với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + z - 7 = 0).

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A (1; 0; 1)$ , $B (5; 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(β)$ : $2 x - y + z - 7 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng đã cho sẽ có vector pháp tuyến là tích vô hướng của vector pháp tuyến của mặt phẳng đã cho và vector tạo bởi hai điểm trên mặt phẳng cần tìm.

- Sử dụng phương trình mặt phẳng dạng $A x + B y + C z + D = 0$ .

- Vector pháp tuyến của $(α)$ phải thỏa mãn tính vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng $(β)$ và đi qua hai điểm cho trước.

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(β)$ là: $\vec{n_{β}} = (2, - 1, 1)$ .

Vector chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm $A (1; 0; 1)$ và $B (5; 2; 3)$ là:

$\vec{A B} = (5 - 1; 2 - 0; 3 - 1) = (4; 2; 2)$

Gọi $\vec{n_{α}} = (A, B, C)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ . Vì $(α)$ vuông góc với $(β)$ , nên vectơ pháp tuyến của $(α)$ sẽ bằng tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{n_{β}}$ :

$\vec{n_{α}} = [\vec{A B}, \vec{n_{β}}] = (2.1 - 2. (- 1); 4.1 - 2.2; 4. (- 1) - 2.2) = (4; 0; - 8)$

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $x - 2 z + D = 0$ .

Thay tọa độ điểm $A (1; 0; 1)$ vào phương trình để tìm $D$ :

$1 - 2 (1) + D = 0 \Rightarrow D = 1$

Vậy phương trình mặt phẳng $(α)$ là:

$x - 2 z + 1 = 0$