Giải bài tập 5.8 trang 52

Đề bài

Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) $\left({\alpha }_1\right):x+2y-3z+2=0$ và $\left({\alpha }_2\right):-2x-4y+6z-5=0$.

b) $\left({\beta }_1\right):x+2z-5=0$ và $\left({\beta }_2\right):4x-3y-2z+1=0$.

c) $\left({\gamma }_1\right):x-2y+z+3=0$ và $\left({\gamma }_2\right):2x-4y+3z+2=0$.

Lời giải chi tiết

a)

Vector pháp tuyến của $\left({\alpha }_1\right)$: $\overrightarrow{n_{{\alpha }_1}}=(1,2,-3)$.

Vector pháp tuyến của $\left({\alpha }_2\right)$: $\overrightarrow{n_{{\alpha }_2}}=(-2,-4,6)$.

Ta nhận thấy: $\overrightarrow{n_{{\alpha }_2}}=-2\cdot \overrightarrow{n_{{\alpha }_1}}$, do đó $\overrightarrow{n_{{\alpha }_1}}$ và $\overrightarrow{n_{{\alpha }_2}}$ cùng phương.

Suy ra hai mặt phẳng song song.

b)

Vector pháp tuyến của $\left({\beta }_1\right)$: $\overrightarrow{n_{{\beta }_1}}=(1,0,2)$.

Vector pháp tuyến của $\left({\beta }_2\right)$: $\overrightarrow{n_{{\beta }_2}}=(4,-3,-2)$.

Tích vô hướng:

$\overrightarrow{n_{{\beta }_1}}\cdot \overrightarrow{n_{{\beta }_2}}=1\cdot 4+0\cdot (-3)+2\cdot (-2)=4-4=0$

Suy ra hai mặt phẳng vuông góc.

c)

Vector pháp tuyến của $\left({\gamma }_1\right)$: $\overrightarrow{n_{{\gamma }_1}}=(1,-2,1)$.

Vector pháp tuyến của $\left({\gamma }_2\right)$: $\overrightarrow{n_{{\gamma }_2}}=(2,-4,3)$.

Tỉ lệ giữa các thành phần của vector là:

$\frac{2}{1}=\frac{-4}{-2}=\frac{3}{1}$

Tích vô hướng:

$\overrightarrow{n_{{\gamma }_1}}.\overrightarrow{n_{{\gamma }_2}}=1.2+(-2).(-4)+1.3=13\ne 0$

Có thể thấy hai vector không cùng phương và cũng không vuông góc.

Suy ra hai mặt phẳng không vuông góc cũng không song song