Giải bài tập 5.9 trang 52

Tính khoảng cách từ điểm A(2;4;−3)A(2;4;−3)A(2;4; - 3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) (α):2x−2y+z−9=0(α):2x−2y+z−9=0(\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0 b) (β):12y−5z+5=0(β):12y−5z+5=0(\beta ):12y - 5z + 5 = 0 c) (Oxy):z=0(Oxy):z=0(Oxy):z = 0

Đề bài

Tính khoảng cách từ điểm $A (2; 4; - 3)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $(α) : 2 x - 2 y + z - 9 = 0$

b) $(β) : 12 y - 5 z + 5 = 0$

c) $(O x y) : z = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách từ một điểm $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ đến mặt phẳng $A x + B y + C z + D = 0$ được tính theo công thức:

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Trong đó:

- $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách.

- A, B, C là hệ số trong phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(α) : 2 x - 2 y + z - 9 = 0$ .

$d_{α} = \frac{| 2 (2) - 2 (4) + (- 3) - 9 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 4 - 8 - 3 - 9 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{| - 16 |}{\sqrt{9}} = \frac{16}{3}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(α)$ là $\frac{16}{3}$ .

b) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(β) : 12 y - 5 z + 5 = 0$ .

$d_{β} = \frac{| 12 (4) - 5 (- 3) + 5 |}{\sqrt{12^{2} + {(- 5)}^{2}}} = \frac{| 48 + 15 + 5 |}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{68}{\sqrt{169}} = \frac{68}{13}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(β)$ là $\frac{68}{13}$ .

c) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(O x y) : z = 0$ .

$d_{O x y} = \frac{| 1 \cdot (- 3) + 0 |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 3 |}{1} = 3$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(O x y)$ là $3$ .