Giải bài tập 5 trang 102

Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung số đo là 95o. (Hình 12).

Đề bài

Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung số đo là 95^o. (Hình 12).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính diện tích tam giác OAB.

- Tính diện tích hình quạt tròn OamB.

- Tính diện tích hình viên phân AmB = diện tích hình quạt tròn OamB - diện tích tam giác OAB.

Lời giải chi tiết

Gọi các điểm như hình dưới:

Gọi AmB là hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung có số đo $95^{\circ}$ .

Vẽ $O H ⊥ A B$ tại $H$ . Khi đó $H$ là trung điểm của $A B$ .

Suy ra $A H = B H = \frac{A B}{2} = \frac{55}{2} = 27, 5 (cm) .$

Ta có $O A = O B = R$ nên $Δ O A B$ cân tại $O$ .

Mà $O H ⊥ A B$ nên $O H$ là tia phân giác của góc $A O B$ , suy ra $\hat{A O H} = \frac{\hat{A O B}}{2} = \frac{95^{\circ}}{2} = 47, 5^{\circ} .$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $Δ A O H$ vuông tại $H$ , ta có:

$O H = A H \cdot \cot \hat{A O H} = 27, 5 \cdot \cot 47, 5^{\circ} \approx 25, 2 (cm);$

$O A = \frac{A H}{\sin \hat{A O H}} = \frac{27, 5}{\sin 47, 5^{\circ}} \approx 37, 3 (cm) .$

Diện tích của tam giác $O A B$ là:

$S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot O H \cdot A B = \frac{1}{2} \cdot 25, 2 \cdot 55 \approx 693 {(cm}^{2}) . (1)$

Diện tích hình quạt tròn $O A m B$ là:

$S_{O A m B} = \frac{π R^{2} n}{360} \approx \frac{π \cdot (37, 3)^{2} \cdot 95}{360} \approx 1153, 42 {(cm}^{2}) . (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra diện tích hình viên phân $A m B$ là:

$S_{A m B} = S_{O A m B} - S_{O A B} \approx 1153, 42 - 693 \approx 460, 42 {(cm}^{2}) .$