Giải bài tập 5 trang 110

Đề bài

Cho đường tròn $\left(O;R\right)$ đường kính $AB$ và các đường thẳng $m,n,p$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại $A,B,C$ (Hình 43).

Chứng minh:

a) $AD+BE=DE$;

b) $\widehat{COD}=\frac{1}{2}\widehat{COA}$ và $\widehat{COE}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$;

c) Tam giác $ODE$ vuông;

d) $\frac{OD.OE}{DE}=R$.

Lời giải chi tiết

a) Do $DC,DA$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $DA=DC$.

Do $EC,EB$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $CE=BE$.

Lại có: $DC+CE=DE$ suy ra $DA+EB=DE$.

b) Do $DC,DA$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $OD$ là tia phân giác của góc $COA$.

Suy ra $\widehat{COD}=\frac{1}{2}\widehat{COA}$.

Do $EC,EB$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ nên $OE$ là tia phân giác của góc $COB$.

Suy ra $\widehat{COE}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$.

c) Ta có: $\widehat{COA}+\widehat{COB}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\frac{1}{2}\left(\widehat{COA}+\widehat{COB}\right)=\frac{1}{2}{.180}^{\circ }={90}^{\circ }$

Do đó $\frac{1}{2}\widehat{COA}+\frac{1}{2}\widehat{COB}={90}^{\circ }.$

Mà $\widehat{COD}=\frac{1}{2}\widehat{COA}$,$\widehat{COE}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$ nên $\widehat{COD}+\widehat{COE}={90}^{\circ }$  hay $\widehat{DOE}={90}^{\circ }$.

Vậy tam giác $ODE$ vuông tại $O$.

d) Vì $DE$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$ nên $DE\perp CO$

Suy ra $\widehat{DCO}={90}^{\circ }$

Xét $\Delta ODE$ và $\Delta CDO$ có:

$\widehat{DOE}=\widehat{DCO}={90}^{\circ }$

$\widehat{ODE}$ (góc chung)

suy ra $\Delta ODE\backsim \Delta CDO$ (g.g)

Do đó $\frac{OE}{OC}=\frac{DE}{OD}$

Dẫn đến $OE\cdot OD=DE\cdot OC$

Suy ra $\frac{OD.OE}{DE}=OC$.

hay $\frac{OD.OE}{DE}=R$. (đpcm)