Giải bài tập 5 trang 12

Tìm a) (int {x{{left( {2x - 3} right)}^2}dx} ) b) (int {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ) c) (int {{{tan }^2}xdx} ) d) (int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx)

Đề bài

Tìm:

a) $\int x {(2 x - 3)}^{2} d x$ ;

b) $\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x$ ;

c) $\int \tan^{2} x d x$ ;

d) $\int 2^{3 x} {.3}^{x} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Khai triển biểu thức $x {(2 x - 3)}^{2}$ , sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

b) Sử dụng công thức hạ bậc $\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$ , sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

c) Sử dụng công thức $\tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} - 1$ , sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

d) Biến đổi $\int 2^{3 x} {.3}^{x} d x$ về dạng $\int a^{x} d x$ , rồi dùng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.

Lời giải chi tiết

a) $\int x {(2 x - 3)}^{2} d x = \int x (4 x^{2} - 12 x + 9) d x$

$= \int (4 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x) d x$

$= 4 \int x^{3} d x - 12 \int x^{2} d x + 9 \int x d x$

$= 4. \frac{x^{4}}{4} - 12. \frac{x^{3}}{3} + 9. \frac{x^{2}}{2} + C$

$= x^{4} - 4 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + C$ .

b) $\int \sin^{2} \frac{x}{2} d x = \int \frac{1 - \cos x}{2} d x$

$= \frac{1}{2} \int d x - \frac{1}{2} \int \cos x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x + C$ .

c) $\int \tan^{2} x d x = \int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) d x$

$= \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x - \int d x = \tan x - x + C$ .

d) $\int 2^{3 x} {.3}^{x} d x = \int {(2^{3})}^{x} {.3}^{x} d x$

$= \int 8^{x} {.3}^{x} d x = \int 24^{x} d x = \frac{24^{x}}{\ln 24} + C$ .