Giải bài tập 5 trang 124

Cho hai đường tròn (left( {I;r} right)) và (left( {K;R} right)) tiếp xúc ngoài với nhau tại (P) với (R ne r), đường thẳng (a) lần lượt tiếp xúc với (left( {I;r} right)) và (left( {K;R} right)) tại (A) và (B,a) cắt (KI) tại (O). Đường thẳng qua (P) vuông góc với (IK) cắt đường thẳng (a) tại (M). Chứn

Đề bài

Cho hai đường tròn $(I; r)$ và $(K; R)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $P$ với $R \neq r$ , đường thẳng $a$ lần lượt tiếp xúc với $(I; r)$ và $(K; R)$ tại $A$ và $B, a$ cắt $K I$ tại $O$ . Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $I K$ cắt đường thẳng $a$ tại $M$ . Chứng minh:

a) $\frac{O I}{O K} = \frac{r}{R}$ ;

b) $A B = 2 M P$ ;

c) $\hat{I M K} = 90^{\circ}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Do $A I$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $A I ⊥ A B$

Do $B K$ là tiếp tuyến của $(K)$ nên $K B ⊥ A B$

Từ đó suy ra $A I / / B K$

Xét tam giác $O B K$ có: $A I / / B K$ nên $\frac{O I}{O K} = \frac{A I}{B K} = \frac{r}{R}$ (định lí Thalet).

b) Xét $(I)$ có $M P, M A$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $M P = M A$ (1).

Xét $(K)$ có $M P, M B$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

suy ra $M P = M B$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $M P + M P = M A + M B$ hay $2 M P = A B$

c) Do $A I / / B K$ nên $\hat{O I A} = \hat{I K B}$ (2 góc đồng vị).

Mà $\hat{A I K} + \hat{O A I} = 180^{\circ}$ (2 góc kề bù) nên $\hat{A I K} + \hat{I K B} = 180^{\circ}$ (3).

Do $M P, M A$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $I M$ là phân giác $\hat{A I P}$ , suy ra $\hat{M I P} = \frac{1}{2} \hat{A I P}$ (4).

Do $M P, M B$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $K M$ là phân giác $\hat{I K P}$ , suy ra $\hat{M K P} = \frac{1}{2} \hat{I K P}$ (5).

Từ (3), (4) và (5) suy ra $\frac{1}{2} \hat{A I P} + \frac{1}{2} \hat{I K P} = \frac{1}{2} {.180}^{\circ}$ nên $\hat{M I P} + \hat{M K P} = 90^{\circ}$

Xét tam giác $I M K$ có: $\hat{M I P} + \hat{M K P} = 90^{\circ}$ suy ra $\hat{I M K} = 90^{\circ}$