Giải bài tập 5 trang 20

Đề bài

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là một hình vành khuyên như hình dưới đây. Khí bên trong ống được duy trì ở ${150}^{o}C$. Biết rằng nhiệt độ $T\left({}^{o}C\right)$ tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách $x\left(cm\right)$ từ A đến tâm của mặt cắt và $T^{\prime }\left(x\right)=-\frac{30}{x}$ $\left(6\le x\le 8\right)$. Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

 

Lời giải chi tiết

Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở ${150}^{o}C$, nên $T\left(6\right)=150$.

Nhiệt độ mặt ngoài của ống là $T\left(8\right)=\left[T\left(8\right)-T\left(6\right)\right]+T\left(6\right)=\underset{6}{\overset{8}{\int }}{T}^{\prime }\left(x\right)dx+T\left(6\right)$.

Ta có $\underset{6}{\overset{8}{\int }}{T}^{\prime }\left(x\right)dx=\underset{6}{\overset{8}{\int }}-\frac{30}{x}dx=-30\underset{6}{\overset{8}{\int }}\frac{1}{x}dx=-30.{\left(\ln \left|x\right|\right)|}_6^8=-30\ln 8+30\ln 6$.

Vậy nhiệt độ bên ngoài mặt ống là $T\left(8\right)=-30\ln 8+30\ln 6+150\approx 141,{37}^{o}C$