Giải bài tập 5 trang 40

a) Cho hàm số (f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên (mathbb{R}) sao cho F(0) = 2023 b) Cho hàm số (g(x) = frac{1}{x}). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng ((0; + infty )) sao cho G(1) = 2023

Đề bài

a) Cho hàm số $f (x) = x^{2} + e^{- x}$ . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $R$ sao cho F(0) = 2023.

b) Cho hàm số $g (x) = \frac{1}{x}$ (x > 0). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng $(0; + \infty)$ sao cho G(1) = 2023.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết

a) $F (x) = \int f (x) = \int (x^{2} + e^{- x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - e^{- x} + C$ .

$F (0) = 2023 \Rightarrow C = 2024$ .

Vậy $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - e^{- x} + 2024$ .

b) $\int g (x) = \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

$G (1) = 2023 \Rightarrow C = 2022$

Vậy $G (x) = \ln | x | + 2023$ .