Giải bài tập 5 trang 42

Viết phương trình mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua hai điểm (Aleft( {1;0;1} right)), (Bleft( {5;2;3} right)) và vuông góc với mặt phẳng (left( beta right):2x - y + z - 7 = 0.)

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A (1; 0; 1)$ , $B (5; 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(β) : 2 x - y + z - 7 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mặt phẳng $(α)$ đi qua $A$ , $B$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} .$

Mặt phẳng $(α)$ vuông góc với mặt phẳng $(β)$ , nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(β)$ là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(α)$ . Do đó $(α)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B}$ và $\vec{n}$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $(α)$ là $\vec{n_{(α)}} = [\vec{A B}, \vec{n}]$ . Từ đó viết được phương trình mặt phẳng $(α) .$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(α)$ đi qua $A (1; 0; 1)$ , $B (5; 2; 3)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} (4; 2; 2)$ .

Mặt phẳng $(α)$ vuông góc với mặt phẳng $(β)$ , nên vectơ pháp tuyến $\vec{n} (2; - 1; 1)$ của mặt phẳng $(β)$ là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(α)$ .

Như vậy $(α)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} (4; 2; 2)$ và $\vec{n} (2; - 1; 1)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là

$\vec{n_{(α)}} = [\vec{A B}, \vec{n}] = (2.1 - 2. (- 1); 2.2 - 4.1; 4. (- 1) - 2.2)$

$= (4; 0; - 8)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(α)$ là:

$4 (x - 1) + 0 (y - 0) - 8 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 4 x - 8 z + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2 z + 1 = 0$ .