Giải bài tập 5 trang 60

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) d:⎧⎪⎨⎪⎩x=1+ty=−1+2tz=−2+td:{x=1+ty=−1+2tz=−2+td:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right. và d′:⎧⎪⎨⎪⎩x=2+2t′y=3+4t′z=2t′d′:{x=2+2t′y=3+4t′z=2t′d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{

Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 2 + 2 t^{'} \\ y = 3 + 4 t^{'} \\ z = 2 t^{'} \end{cases}$

b) $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{2}$ và $d^{'} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Viết các vectơ chỉ phương $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ của $d$ và $d^{'}$ .

Trường hợp hai vectơ $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ cùng phương, lấy một điểm $M$ thuộc $d$ . Nếu điểm đó không nằm trên $d^{'}$ thì hai đường thẳng đó song song với nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó trùng nhau.

Trường hợp hai vectơ $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ không cùng phương, lấy một điểm $M$ thuộc $d$ và một điểm $M^{'}$ thuộc $d^{'}$ , sau đó tính tích hỗn hợp $[\vec{a}, \vec{a}] . \vec{M M^{'}}$ . Nếu tích hỗn hợp đó bằng $0$ , hai đường thẳng đó cắt nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{a} = (1; 2; 1)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{'} = (2; 4; 2)$ .

Do $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ nên $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ cùng phương, suy ra $d$ và $d^{'}$ hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M (1; - 1; - 2)$ thuộc $d$ .

Thay hoành độ điểm $M$ vào phương trình $x = 2 + 2 t^{'}$ ta có $1 = 2 + 2 t^{'} \Rightarrow t^{'} = - \frac{1}{2}$ .

Thay $y = - 1$ và $t^{'} = - \frac{1}{2}$ vào phương trình $y = 3 + 4 t^{'}$ , ta thấy phương trình không thoả mãn, do $3 + 4. \frac{- 1}{2} = 1 \neq - 1$ .

Vậy điểm $M$ không thuộc $d^{'}$ . Suy ra $d ∥ d^{'}$ .

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{a} = (1; 2; 2)$ .

Đường thẳng $d^{'}$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{'} = (1; 5; 1)$ .

Do $\frac{1}{1} \neq \frac{2}{5}$ , nên $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ không cùng phương. Suy ra $d$ và $d^{'}$ hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm $M (1; 2; 3)$ thuộc $d$ và $M^{'} (2; 1; 1)$ thuộc $d^{'}$ .

Ta có $[\vec{a}, {\vec{a}}^{'}] = (- 8; 1; 3)$ và $\vec{M M^{'}} = (1; - 1; - 2)$ .

Suy ra $[\vec{a}, {\vec{a}}^{'}] . \vec{M M^{'}} = (- 8) .1 + 1. (- 1) + 3. (- 2) = - 15 \neq 0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ chéo nhau.