Giải bài tập 5 trang 60

Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=-2+t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2+2t^{\prime }\\ y=3+4t^{\prime }\\ z=2t^{\prime }\end{array}$

b) $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{1}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(1;2;1\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(2;4;2\right)$.

Do $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ nên $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{\prime }$ cùng phương, suy ra $d$ và $d^{\prime }$ hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M\left(1;-1;-2\right)$ thuộc $d$.

Thay hoành độ điểm $M$ vào phương trình $x=2+2t^{\prime }$ ta có $1=2+2t^{\prime }\Rightarrow t^{\prime }=-\frac{1}{2}$.

Thay $y=-1$ và $t^{\prime }=-\frac{1}{2}$ vào phương trình $y=3+4t^{\prime }$, ta thấy phương trình không thoả mãn, do $3+4.\frac{-1}{2}=1\ne -1$.

Vậy điểm $M$ không thuộc $d^{\prime }$. Suy ra $d\parallel d^{\prime }$.

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(1;2;2\right)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{a}}^{\prime }=\left(1;5;1\right)$.

Do $\frac{1}{1}\ne \frac{2}{5}$, nên $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{\prime }$ không cùng phương. Suy ra $d$ và $d^{\prime }$ hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm $M\left(1;2;3\right)$ thuộc $d$ và $M^{\prime }\left(2;1;1\right)$ thuộc $d^{\prime }$.

Ta có $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right]=\left(-8;1;3\right)$ và $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(1;-1;-2\right)$.

Suy ra $\left[\vec{a},{\vec{a}}^{\prime }\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(-8\right).1+1.\left(-1\right)+3.\left(-2\right)=-15\ne 0.$

Vậy hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ chéo nhau.