Giải bài tập 5 trang 74

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: a) (BD bot AB,CD bot AC.) b) Tứ giác BHCD là hình bình hành. c) (A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.) d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) $B D ⊥ A B, C D ⊥ A C .$

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) $A C^{2} + B H^{2} = 4 R^{2} .$

d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào định lý: Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông.

b) Chứng minh BH//CD, HC//BD thông qua mối quan hệ từ vuông góc đến song song.

c) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACD.

d) H, M, D thẳng hàng: Chỉ ra M là giao điểm của 2 đường chéo trong hình bình hành BHCD.

AH = 2OM: Chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AHD.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh: $B D ⊥ A B$

Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OB = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra $O A = O D = \frac{A D}{2} .$

Do đó $O B = O A = O D = \frac{A D}{2} .$

Xét tam giác ABD có đường trung tuyến BO và $O B = \frac{A D}{2}$ nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra $B D ⊥ A B$

Chứng minh: $C D ⊥ A C .$

Vì tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OC = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra $O A = O D = \frac{A D}{2} .$

Do đó $O C = O A = O D = \frac{A D}{2} .$

Xét tam giác ACD có đường trung tuyến CO và $O C = \frac{A D}{2}$ nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra $C D ⊥ A C .$

b) Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC nên $B H ⊥ A C$ , $C H ⊥ A B$

Ta lại có:

$B H ⊥ A C$ , $C D ⊥ A C$ (câu a) nên BH // DC.

$C H ⊥ A B$ , $B D ⊥ A B$ (câu a) nên CH // BD.

Xét BHCD có: BH // DC, CH // BD (cmt) suy ra BHCD là hình bình hành (dhnb).

c) Do BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Xét tam giác ADC vuông tại C có: $A C^{2} + C D^{2} = A D^{2}$ , mà BH = CD, AD = 2R nên:

$A C^{2} + B H^{2} = 4 R^{2}$ .

d) Do BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD. Hay H, M, D thẳng hàng.

Xét tam giác AHD có: M là trung điểm của HD (cmt), O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình, suy ra $O M = \frac{1}{2} A H$ hay $A H = 2 O M .$