Giải bài tập 5 trang 84

Cho phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 10 z + 2 = 0$ . Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính R có là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 10 z + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2. x .2 - 2. y .1 - 2. z .5 + 2 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 28$ .

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính $R = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .