Giải bài tập 6.10 trang 105

Đề bài

Một hãng hàng không sau khi nghiên cứu các chuyến bay cho kết quả như sau:

Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là 0,83; xác suất để một chuyến bay đến nơi đúng giờ là 0,82; xác suất để chuyến bay khởi hành đúng giờ và đến nơi đúng giờ là 0,78. Gọi A là biến cố "Chuyến bay khởi hành đúng giờ" và B là biến cố "Chuyến bay đến nơi đúng giờ".

a) Tính và giải thích ý nghĩa của P(A|B).

b) Tính và giải thích ý nghĩa của P(B|A).

c) Tính $P\left(B|\overline{A}\right)$ và cho biết xác suất chuyến bay đến nơi đúng giờ là tăng hay giảm khi có thêm thông tin chuyến bay khởi hành không đúng giờ.

Lời giải chi tiết

* Theo đề bài ta có:

- $P\left(A\right)=0,83$: Xác suất chuyến bay khởi hành đúng giờ.

 - $P\left(B\right)=0,82$: Xác suất chuyến bay đến nơi đúng giờ.

- $P\left(AB\right)=0,78$: Xác suất chuyến bay khởi hành và đến nơi đúng giờ.

a) Tính $P\left(A|B\right)$

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,78}{0,82}\approx 0,951$.

 Giải thích: Nếu biết rằng chuyến bay đến nơi đúng giờ, xác suất để chuyến bay khởi hành đúng giờ là khoảng $95,1\%$.

b) Tính $P\left(B|A\right)$ Công thức xác suất có điều kiện:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,78}{0,83}\approx 0,940$.

Giải thích: Nếu biết rằng chuyến bay khởi hành đúng giờ, xác suất để chuyến bay đến nơi đúng giờ là khoảng $94\%$.

c) Tính $P\left(B|\overline{A}\right)$

* Tính $P\left(\overline{A}\right)$: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,83=0,17$.

* Sử dụng công thức xác suất toàn phần:

$P\left(B\right)=P\left(B|A\right)\cdot P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)$.

$0,82=0,94\cdot 0,83+P\left(B|\overline{A}\right)\cdot 0,17$.

 * Giải phương trình

$0,82=0,7802+P\left(B|\overline{A}\right)\cdot 0,17$.

$P\left(B|\overline{A}\right)\cdot 0,17=0,82-0,7802=0,0398$.

$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{0,0398}{0,17}\approx 0,234$.

Nếu biết rằng chuyến bay không khởi hành đúng giờ, xác suất để chuyến bay đến nơi đúng giờ chỉ là $23,4\%$.

So sánh $P\left(B|A\right)$ và $P\left(B|\overline{A}\right)$:

- $P\left(B|A\right)\approx 0,940$: Xác suất chuyến bay đến nơi đúng giờ rất cao khi khởi hành đúng giờ.

- $P\left(B|\overline{A}\right)\approx 0,234$: Xác suất chuyến bay đến nơi đúng giờ giảm mạnh khi chuyến bay không khởi hành đúng giờ.

Kết luận: Xác suất để chuyến bay đến nơi đúng giờ giảm đáng kể nếu chuyến bay không khởi hành đúng giờ.