Giải bài tập 6.11 trang 78

Đề bài

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất là 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.

a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.

b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.

c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”, B là biến cố: “Thư chọn bị chặn” thì $\overline{B}$ là biến cố: “Thư chọn không bị chặn”.

Theo đầu bài ta có: $P\left(A\right)=0,03$, $P\left(\overline{A}\right)=0,97$, $P\left(B|A\right)=0,95$, $P\left(B|\overline{A}\right)=0,01$.

a) Ta có: $P\left(B\right)=P\left(B|A\right).P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right).P\left(\overline{A}\right)=0,95.0,03+0,01.0,97=0,0382$.

Do đó, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,95.0,03}{0,0382}=\frac{285}{382}\approx 0,746$.

Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn là thư rác là khoảng 74,6%.

b) Vì $P\left(B|\overline{A}\right)=0,01\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,99$;

$P\left(B|A\right)=0,95\Rightarrow P\left(\overline{B}|A\right)=0,05$.

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)+P\left(A\right).P\left(\overline{B}|A\right)}$

$=\frac{0,97.0,99}{0,97.0,99+0,03.0,05}=\frac{3201}{3206}\approx 0,998$

Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn là thư đúng là khoảng 99,8%.

c) Ta có $P\left(\overline{A}|B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-\frac{285}{382}\approx 0,254$.

Vậy có khoảng 25,4% thư đúng trong các thư bị chặn.

Ta có $P\left(A|\overline{B}\right)=1-P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=1-\frac{3201}{3206}\approx 0,002$.

Vậy có khoảng 0,2% thư rác trong số các thư không bị chặn.