Giải bài tập 6.12 trang 106

Đề bài

Theo thống kê, tỉ lệ khách hàng thân thiết của một siêu thị là 35%. Trong nhóm khách hàng thân thiết này, có 74% khách hàng mua rau sạch. Trong nhóm khách hàng còn lại, tỉ lệ mua rau sạch là 28%.

a) Tính tỉ lệ khách hàng mua rau sạch của siêu thị đó.

b) Trong một dịp đặc biệt, người ta đã chọn được một khách hàng mua rau sạch.

Tính xác suất người này là khách hàng thân thiết.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố:

- $A$: Khách hàng là khách hàng thân thiết.

- $\overline{A}$: Khách hàng không phải là khách hàng thân thiết.

- $B$: Khách hàng mua rau sạch.

Theo đề bài ta có:

- $P\left(A\right)=0,35$, $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,65$.

- $P\left(B|A\right)=0,74$, $P\left(B|\overline{A}\right)=0,28$.

a) Tính tỉ lệ khách hàng mua rau sạch:

$P\left(B\right)=P\left(B|A\right)P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)P\left(\overline{A}\right)$.

$P\left(B\right)=(0,74\times 0,35)+(0,28\times 0,65)$.

 Tính từng phần:

$0,74\times 0,35=0,259,0,28\times 0,65=0,182$.

$P\left(B\right)=0,259+0,182=0,441$.

 Vậy, tỉ lệ khách hàng mua rau sạch là: $P\left(B\right)=0,441$ (44,1%).

b) Tính xác suất khách hàng mua rau sạch là khách hàng thân thiết: Sử dụng công thức: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$.

 Tính $P\left(AB\right)$: $P\left(AB\right)=P\left(B|A\right)P\left(A\right)=0,74\times 0,35=0,259$.

 Thay vào công thức: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,259}{0,441}\approx 0,587$.

 Vậy, xác suất khách hàng mua rau sạch là khách hàng thân thiết:

$P\left(A|B\right)\approx 0,587$ (58,7%).