Giải bài tập 6.14 trang 107

Đề bài

Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất 60% và phân xưởng thứ hai sản xuất 40% tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 16% và 20%.

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm.

b) Giả sử đã lấy được phế phẩm, tính xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.

c) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất là cao hơn?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng định lý xác suất toàn phần:

$P (A) = P (A | B_{1}) P (B_{1}) + P (A | B_{2}) P (B_{2}),$

trong đó:

- $B_{1}$ : Sản phẩm do phân xưởng thứ nhất sản xuất.

- $B_{2}$ : Sản phẩm do phân xưởng thứ hai sản xuất.

- $P (A | B_{1})$ và $P (A | B_{2})$ là xác suất phế phẩm của từng phân xưởng.

b) Xác suất để phế phẩm lấy được do phân xưởng thứ nhất sản xuất ( $P (B_{1} | A)$ ):

Áp dụng công thức Bayes: $P (B_{1} | A) = \frac{P (A | B_{1}) P (B_{1})}{P (A)} .$

c) Xác suất để sản phẩm tốt lấy được do từng phân xưởng sản xuất: Với sản phẩm tốt là $\bar{A}$ :

$P (B_{1} | \bar{A}) = \frac{P (\bar{A} | B_{1}) P (B_{1})}{P (\bar{A})},$ $P (B_{2} | \bar{A}) = \frac{P (\bar{A} | B_{2}) P (B_{2})}{P (\bar{A})},$

trong đó $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ .

Lời giải chi tiết

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm ( $P (A)$ ):

- Xác suất phế phẩm do từng phân xưởng: $P (A | B_{1}) = 0, 16, P (A | B_{2}) = 0, 20.$

- Xác suất sản phẩm do từng phân xưởng sản xuất: $P (B_{1}) = 0, 60, P (B_{2}) = 0, 40.$

Xác suất để lấy được phế phẩm:

$P (A) = P (A | B_{1}) P (B_{1}) + P (A | B_{2}) P (B_{2}) = 0, 16 \times 0, 60 + 0, 20 \times 0, 40 = 0, 096 + 0, 08 = 0, 176.$

b) Tính xác suất phế phẩm lấy được do phân xưởng thứ nhất sản xuất ( $P (B_{1} | A)$ ):

Sử dụng công thức Bayes:

$P (B_{1} | A) = \frac{P (A | B_{1}) P (B_{1})}{P (A)} = \frac{0, 16 \times 0, 60}{0, 176} = \frac{0, 096}{0, 176} \approx 0, 545.$

c) Tính khả năng sản phẩm tốt ( $\bar{A}$ ) do từng phân xưởng sản xuất:

- Xác suất sản phẩm tốt do từng phân xưởng:

$P (\bar{A} | B_{1}) = 1 - P (A | B_{1}) = 1 - 0, 16 = 0, 84,$

$P (\bar{A} | B_{2}) = 1 - P (A | B_{2}) = 1 - 0, 20 = 0, 80.$

- Xác suất sản phẩm tốt: $P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0, 176 = 0, 824.$

- Xác suất sản phẩm tốt do từng phân xưởng:

$P (B_{1} | \bar{A}) = \frac{P (\bar{A} | B_{1}) P (B_{1})}{P (\bar{A})} = \frac{0, 84 \times 0, 60}{0, 824} = \frac{0, 504}{0, 824} \approx 0, 612,$

$P (B_{2} | \bar{A}) = \frac{P (\bar{A} | B_{2}) P (B_{2})}{P (\bar{A})} = \frac{0, 80 \times 0, 40}{0, 824} = \frac{0, 32}{0, 824} \approx 0, 388.$

Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng cao do phân xưởng thứ nhất sản xuất:

$P (B_{1} | \bar{A}) \approx 61, 2 % .$