Giải bài tập 6.19 trang 108

Đề bài

Một bệnh viện đang xét nghiệm cho một số bệnh nhân để xác định liệu họ có nhiễm virus X hay không. Xác suất để một bệnh nhân bị nhiễm virus X là 0,05. Khi xét nghiệm, nếu một bệnh nhân bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính là 0,95. Nếu một bệnh nhân không bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính là 0,98. Một bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để bệnh nhân đó thực sự bị nhiễm virus X là

A. $\frac{133}{2000}$

B. $\frac{19}{400}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{2}{7}$

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

- Xác suất bệnh nhân bị nhiễm virus X: $P\left(A\right)=0,05$.

- Xác suất bệnh nhân không bị nhiễm virus X: $P\left(\overline{A}\right)=0,95$.

- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân bị nhiễm virus X: $P\left(B|A\right)=0,95$.

- Xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,98$.

- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: $P\left(B|\overline{A}\right)=1-0,98=0,02$.

Để tính $P\left(B\right)$ (xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: $P\left(B\right)=P\left(B|A\right)P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)P\left(\overline{A}\right)$.

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

$P\left(B\right)=0,95\times 0,05+0,02\times 0,95$.

$P\left(B\right)=0,0475+0,019=0,0665$.

Áp dụng Định lý Bayes để tính $P\left(A|B\right)$:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B|A\right)P\left(A\right)}{P\left(B\right)}$.

Thay các giá trị vào công thức:

$P\left(A|B\right)=\frac{0,95\times 0,05}{0,0665}=\frac{0,0475}{0,0665}=\frac{5}{7}$ .

Chọn C