Giải bài tập 6.20 trang 108

Đề bài

Ở một địa phương X, xác suất để một người lớn trên 40 tuổi mắc bệnh ung thư là 0,05. Xác suất bác sĩ chẩn đoán đúng một người mắc bệnh ung thư là 0,78 và chẩn đoán sai (không bị ung thư nhưng được chẩn đoán mắc bệnh) là 0,06. Xác suất để một người thật sự mắc bệnh ung thư khi nhận được kết quả chẩn đoán bị ung thư bằng

A. 0,40625

B. 0,096

C. 0,904

D. 0,59375

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

- Xác suất để một người mắc bệnh ung thư: $P\left(A\right)=0,05$.

- Xác suất một người không mắc bệnh ung thư: $P\left(\overline{A}\right)=1-0,05=0,95$.

- Xác suất bác sĩ chẩn đoán đúng người mắc bệnh ung thư: $P\left(B|A\right)=0,78$.

- Xác suất bác sĩ chẩn đoán sai (chẩn đoán bị ung thư khi không mắc bệnh ung thư): $P\left(B|\overline{A}\right)=0,06$.

Để tính $P\left(B\right)$ (xác suất để chẩn đoán dương tính), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: $P\left(B\right)=P\left(B|A\right)P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)P\left(\overline{A}\right)$.

Thay các giá trị vào công thức:

$P\left(B\right)=(0,78\times 0,05)+(0,06\times 0,95)$.

$P\left(B\right)=0,039+0,057=0,096$.

Áp dụng Định lý Bayes để tính $P\left(A|B\right)$: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B|A\right)P\left(A\right)}{P\left(B\right)}$.

Thay các giá trị vào công thức: $P\left(A|B\right)=\frac{0,78\times 0,05}{0,096}=\frac{0,039}{0,096}=0,40625$.

Chọn A