Giải bài tập 6.26 trang 24

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}$ và $x_{2}$ thì đa thức $a x^{2} + b x + c$ được phân tích được thành nhân tử sau: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} + 11 x + 18$ ;

b) $3 x^{2} + 5 x - 2$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh:

+ Biến đổi $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

+ Thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ vào đa thức

$a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$ ta được điều phải chứng minh.

a, b) Tìm nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$

+ Phân tích đa thức dưới dạng:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Lời giải chi tiết

Ta có: $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$

Vì phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ nên theo định lí Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Thay vào biểu thức $a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$ ta có:

$a x^{2} - a x . \frac{- b}{a} + a . \frac{c}{a} = a x^{2} + b x + c$

a) Giải phương trình $x^{2} + 11 x + 18 = 0$ :

Ta có: $Δ = 11^{2} - 4.1.18 = 49 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 11 + \sqrt{49}}{2} = - 2; x_{2} = \frac{- 11 - \sqrt{49}}{2} = - 9$

Do đó, $x^{2} + 11 x + 18 = (x + 2) (x + 9)$ .

b) Giải phương trình $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ :

Ta có: $Δ = 5^{2} - 4.3. (- 2) = 49 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{6} = \frac{1}{3}; x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{6} = - 2$

Do đó, $3 x^{2} + 5 x - 2 = 3 (x + 2) (x - \frac{1}{3})$ .