Giải bài tập 6.30 trang 23

Cho phương trình 3x2−x−1=03x2−x−1=03{x^2} - x - 1 = 0 có hai nghiệm x1,x2x1,x2{x_1},{x_2}. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau: A = (3x1−1)(3x2−1)(3x1−1)(3x2−1)\left( {3{x_1} - 1} \right)(3{x_2} - 1) B = x12+x22x12+x22{x_1}^2 + {x_2}^2

Đề bài

Cho phương trình $3 x^{2} - x - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = $(3 x_{1} - 1) (3 x_{2} - 1)$

B = ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Lời giải chi tiết

Phương trình $3 x^{2} - x - 1 = 0$ có a = 3; b = -1, c = -1.

$Δ = (- 1)^{2} - 4.3. (- 1) = 13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

Ta có $S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{3}, P = x_{1} x_{2} = - \frac{1}{3}$ .

A = $(3 x_{1} - 1) (3 x_{2} - 1) = 9 x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} + 1$

$\begin{array}{l} = 9 x_{1} x_{2} - 3 (x_{1} + x_{2}) + 1 \\ = 9. (- \frac{1}{3}) - 3. \frac{1}{3} + 1 \\ = - 3 \end{array}$

B = ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

Ta có ${(x_{1} + x_{2})}^{2} = {x_{1}}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}$

Suy ra ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \frac{1}{3} - 2. (- \frac{1}{3}) = 1.$