Giải bài tập 6.35 trang 29

Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình bậc hai ({x^2} - 5x + 3 = 0). Không giải phương trình, hãy tính: a) (x_1^2 + x_2^2); b) ({left( {{x_1} - {x_2}} right)^2}).

Đề bài

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ;

b) ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tính biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ hoặc $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ với $b^{'} = \frac{b}{2}$ .

+ Nếu $Δ > 0$ hoặc $Δ^{'} > 0$ thì áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ .

a) Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

b) Biến đổi ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết

Vì $Δ = {(- 5)}^{2} - 4.1.3 = 13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

Theo định lí Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = 5; x_{1} . x_{2} = 3$ .

a) Ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 5^{2} - 2.3 = 19$

b) Cách 1. Ta có:

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$

$= ({x_{1}}^{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = 19 - 2.3 = 13$

Cách 2. Ta có:

${(x_{1} - x_{2})}^{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 5^{2} - 4.3 = 13$