Giải bài tập 6.48 trang 31

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} - 11 x + 30 = 0$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ;

b) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

+ Tính biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

+ Nếu $Δ > 0$ , áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ .

a) Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

b) Biến đổi $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ , từ đó thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết

Vì $Δ = {(- 11)}^{2} - 4.30 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = 11; x_{1} . x_{2} = 30$ .

a) Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 11^{2} - 2.30 = 61$

b) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 11^{3} - 3.30.11 = 341$