Giải bài tập 6.7 trang 77

Đề bài

Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.

Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa.

Biết rằng xác xuất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí X”; B là biến cố: “Máy bay bị bắn rơi”.

Theo bài ra ta có $P\left(A\right)=0,55$. Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,55=0,45$.

Nếu máy bay xuất hiện tại X thì có hai quả tên lửa bắn lên.

Khi đó, $P\left(B|A\right)$ là xác suất để máy bay bị bắn rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên.

Ta tính xác suất của biến cố đối $P\left(\overline{B}|A\right)$: “Máy bay không rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên”. Ta có 

$P\left(\overline{B}|A\right)=(1-0,8).(1-0,8)=0,2^2=0,04$.

Vậy $P\left(B|A\right)=1-P\left(\overline{B}|A\right)=1-0,04=0,96$.

$P\left(B|\overline{A}\right)$: Nếu máy bay xuất hiện tại Y thì có một quả tên lửa bắn lên. Máy bay rơi khi bị quả tên lửa này bắn trúng. Do đó $P\left(B|\overline{A}\right)=0,8$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=0,55.0,96+0,45.0,8=0,888$.