Giải bài tập 6.8 trang 102

Đề bài

Giả sử có khoảng 40% thư điện tử (email) gửi đến một địa chỉ là thư rác. Người ta sử dụng một thuật toán để phân loại thư rác, biết rằng thuật toán này có thể phân loại đến 99% thư rác và tỉ lệ sai sót khi phân loại thư bình thường thành thư rác là 5%. Tính xác suất một thư điện tử là thư bình thường nếu thư này đã được phân loại đúng.

Lời giải chi tiết

Gọi

- $A$: Thư điện tử là thư bình thường.

- $\overline{A}$: Thư điện tử là thư rác.

- $B$: Thuật toán phân loại đúng.

Dữ kiện bài toán:

- $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=0,6$, $P\left(\overline{A}\right)=0,4$.

- Nếu thư là thư rác ($\overline{A}$), xác suất được phân loại đúng: $P\left(B|\overline{A}\right)=0,99$.

- Nếu thư là thư bình thường ($A$), xác suất được phân loại đúng:

$P\left(B|A\right)=1-0,05=0,95$.

Tính $P\left(B\right)$: $P\left(B\right)=P\left(B|A\right)\cdot P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right).$

$P\left(B\right)=(0,95\cdot 0,6)+(0,99\cdot 0,4).$

$P\left(B\right)=0,57+0,396=0,966.$

Tính $P\left(A|B\right)$: Áp dụng định lý Bayes:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B|A\right)\cdot P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

$P\left(A|B\right)=\frac{0,95\cdot 0,6}{0,966}.$

$P\left(A|B\right)\approx \frac{0,57}{0,966}\approx 0,5901.$

Xác suất một thư điện tử là thư bình thường nếu thư này đã được phân loại đúng là khoảng $59,01\%$.