Giải bài tập 6 trang 12

Kí hiệu (hleft( x right)) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng (x) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ (h'left( x right) = frac{1}{x}) (m/năm). a) Xác định chiều cao của cây sau (x) năm (left( {1 le x le 11} right)). b) Sau

Đề bài

Kí hiệu $h (x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{'} (x) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $(1 \leq x \leq 11)$ .

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là $h (x) = \int h^{'} (x) d x$ . Chúng ta nguyên hàm hàm số $h^{'} (x)$ để tìm $h (x)$ , sau đó sử dụng dữ kiện “sau năm đầu tiên cây cao 2 m” để tìm hằng số $C$ .

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình $h (x) = 3$ .

Lời giải chi tiết

a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là

$h (x) = \int h^{'} (x) d x = \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C = \ln x + C$ (do $1 \leq x \leq 11$ ).

Sau năm đầu tiên, cây cao 2 m, do đó ta có $h (1) = 2$ .

Suy ra $\ln 1 + C = 2 \Rightarrow 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2$ .

Vậy chiều cao của cây sau $x$ năm là $h (x) = \ln x + 2$ (m).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình $h (x) = 3$ .

Ta có $h (x) = 3 \Rightarrow \ln x + 2 = 3 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e \approx 2, 72$ .

Vậy sau khoảng $2, 72$ năm thì cây cao 3 m.