Giải bài tập 6 trang 12

Đề bài

Kí hiệu $h\left(x\right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left(1\le x\le 11\right)$.

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Lời giải chi tiết

a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là

$h\left(x\right)=\int h^{\prime }\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C=\ln x+C$ (do $1\le x\le 11$).

Sau năm đầu tiên, cây cao 2 m, do đó ta có $h\left(1\right)=2$.

Suy ra $\ln 1+C=2\Rightarrow 0+C=2\Rightarrow C=2$.

Vậy chiều cao của cây sau $x$ năm là $h\left(x\right)=\ln x+2$ (m).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình $h\left(x\right)=3$.

Ta có $h\left(x\right)=3\Rightarrow \ln x+2=3\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e\approx 2,72$.

Vậy sau khoảng $2,72$ năm thì cây cao 3 m.