Giải bài tập 6 trang 42

Đề bài

 

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$;

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$;

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$;

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$;

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$;

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$.

Lời giải chi tiết

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$.

1) TXĐ: $x\in R\left\{-1\right\}$.

2) Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tung: $\left(0;-1\right)$.

Giao điểm đồ thị với trục hoành: $\left(1;0\right)$.

Đồ thị đi qua các điểm: $\left(0;-1\right)$, $\left(1;0\right)$.

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$.

1) TXĐ: $x\in R\setminus \left\{-1\right\}$.

2) Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-2}{{(x+1)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,\infty \right)$.

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tung: $\left(0;0\right)$.

Giao điểm đồ thị với trục hoành: $\left(0;0\right)$.

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$.

1) TXĐ: $x\in R\setminus \left\{1\right\}$.

2) Sự biến thiên:

Ta có $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$$=x-2+\frac{4}{x-1}$.

$y^{\prime }=1-\frac{4}{{(x-1)}^2}$$=\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}$.

Xét $y^{\prime }=0\Rightarrow [\begin{array}{c}x=3\\ x=-1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ,-1\right),\left(3,+\infty \right)$. Nghịch biến trên khoảng $\left(-1,1\right),\left(1,3\right)$.

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tung: $\left(0;-6\right)$.

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$.

Hàm số trên xác định trên R\{2}.

Ta có $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}=-x-\frac{4}{x-2}$.

$y^{\prime }=-1+\frac{4}{{(x-2)}^2}$$=\frac{-x^2+4x}{{(x-2)}^2}$.

Xét $y^{\prime }=0\Rightarrow [\begin{array}{c}x=0\\ x=4\end{array}$

Từ đó ta có bảng biến thiên là:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ trên các khoảng $(0;2)$ và $(2;4)$.

Hàm số nghịch biến $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$.

Ta có đồ thị hàm số là:

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$.

Hàm số xác định trên $R\setminus \{-2\}$.

Ta có $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$ $=2x-\frac{x+5}{x+2}$.

$y^{\prime }=2+\frac{3}{{(x+2)}^2}$.

Vì $y^{\prime }>0$ với $R\setminus \{-2\}$.

Nên hàm số luôn đồng biến với $R\setminus \{-2\}$.

Ta có đồ thị hàm số là:

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$.

Hàm số xác định trên $R\setminus \left\{2\right\}$.

Ta có: $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}=-x+\frac{3}{x-2}$.

$y^{\prime }=-1-\frac{3}{{(x-2)}^2}$.

Vì $y^{\prime }<0$ với $R\setminus \left\{2\right\}$.

Nên hàm số luôn nghịch biến với $R\setminus \left\{2\right\}$.

Ta có đồ thị hàm số là: