Giải bài tập 6 trang 42

Viết phương trình mặt phẳng (R)(R)\left( R \right) đi qua điểm A(1;2;−1)A(1;2;−1)A\left( {1;2; - 1} \right) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):4x−2y+6z−11=0(P):4x−2y+6z−11=0\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0, (Q):2x+2y+2z−7=0.(Q):2x+2y+2z−7=0.\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A (1; 2; - 1)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P) : 4 x - 2 y + 6 z - 11 = 0$ , $(Q) : 2 x + 2 y + 2 z - 7 = 0.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(P)}}$ của $(P)$ là vectơ chỉ phương của $(R)$ . Mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(Q)}}$ của $(Q)$ là một vectơ chỉ phương của $(R)$ . Như vậy $(R)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{n_{(P)}}$ và $\vec{n_{(Q)}}$ , suy ra một vectơ pháp tuyến của $(R)$ là $\vec{n_{(R)}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}]$ . Từ đó viết được phương trình mặt phẳng $(R) .$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(P)}} = (4; - 2; 6)$ của $(P)$ là vectơ chỉ phương của $(R) .$

Mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n_{(Q)}} = (2; 2; 2)$ của $(Q)$ là một vectơ chỉ phương của $(R) .$

Như vậy $(R)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{n_{(P)}} = (4; - 2; 6)$ và $\vec{n_{(Q)}} = (2; 2; 2)$ , suy ra một vectơ pháp tuyến của $(R)$ là

$\vec{n_{(R)}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = ((- 2) .2 - 6.2; 6.2 - 4.2; 4.2 - (- 2) .2) = (- 16; 4; 12)$

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ là

$- 16 (x - 1) + 4 (y - 2) + 12 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow - 4 x + y + 3 z + 5 = 0.$