Giải bài tập 6 trang 45

Đề bài

 

Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{5x+1}{3x-2}$;

b) $y=\frac{2x^3-3x}{x^3+1}$;

c) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.

Lời giải chi tiết

a) $y=\frac{5x+1}{3x-2}$.

Tập xác định: $R\setminus \left\{\frac{2}{3}\right\}$.

Đặt mẫu: $3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$.

Ta có: $\underset{x\to \frac{2}{3}}{lim}(5x+1)=5.\frac{2}{3}+1=\frac{13}{3}$; $\underset{x\to \frac{2}{3}}{lim}(3x-2)=3.\frac{2}{3}-2=0$.

Suy ra $\underset{x\to \frac{2}{3}}{lim}\frac{5x+1}{3x-2}=\infty$.

Vậy hàm số có TCĐ là: $x=\frac{2}{3}$.

Ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{5x+1}{3x-2}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{5+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}}=\frac{5}{3}$.

Vậy, hàm số có TCN là: $y=\frac{5}{3}$.

b) $y=\frac{2x^3-3x}{x^3+1}$.

TXĐ: $R\setminus \left\{-1\right\}$.

Đặt mẫu $x^3+1=0\Rightarrow x=-1$.

Ta có: $\underset{x\to -1}{lim}(2x^3-3x)=2.(-1{)}^3-3.(-1)=1$; $\underset{x\to -1}{lim}(x^3+1)=(-1{)}^3+1=0$.

Suy ra $\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=\infty$.

Vậy hàm số có TCĐ là: $x=-1$.

Ta có:

$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x^3}}=2$.

Vậy hàm số có TCN là: $y=2$.

c) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.

TXĐ: $x\in \left[-\infty ,-2\right]\cup \left[2,+\infty \right]$.

Đặt mẫu $\sqrt{x^2-4}=0\Rightarrow x=-2;x=2$.

Vậy hàm số có TCĐ là: $x=-2;x=2$.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x}{x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\frac{1}{-\sqrt{1}}=-1$.

Vậy hàm số có TCN là: $y=1;y=-1$.