Giải bài tập 6 trang 77

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau: a) ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{2} = frac{{y - 2}}{1} = frac{{z - 3}}{{ - 1}}) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 11 - 6t\y = - 6 - 3t\z = 10 + 3tend{array} right.) (t là tham số); b) ({Delta _1}:left

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 11 - 6 t \\ y = - 6 - 3 t \\ z = 10 + 3 t \end{cases}$ (t là tham số);

b) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + 5 t \end{cases}$ (t là tham số) và $Δ_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 15}{- 3}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{1}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $M_{1}, M_{2}$ và tương ứng có $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương và $\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] \neq 0 \end{cases}$ .

$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ $\Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} \neq 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 1)$ và đi qua điểm $A (1; 2; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 6; - 3; 3)$ và đi qua điểm $B (- 11; - 6; 10)$ .

Vì $- 3 \vec{u_{1}} = (- 6; - 3; 3) = \vec{u_{2}}$ , suy ra $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (- 12; - 8; 7)$ và $\frac{2}{- 12} \neq \frac{1}{- 8}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương.

Vậy $Δ_{1} / / Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; 4; 5)$ và đi qua điểm $A (1; 2; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; 2; - 3)$ và đi qua điểm $B (- 3; - 6; 15)$ .

Ta có: $\frac{3}{1} \neq \frac{4}{2}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (- 4; - 8; 12)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & - 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 5 & 3 \\ - 3 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} |) = (- 22; 14; 2)$

Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{A B} = (- 22) . (- 4) + 14. (- 8) + 2.12 = 0$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{A B}$ đồng phẳng. Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (4; 3; 1)$ và đi qua điểm $A (- 1; 1; 0)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; 2; 2)$ và đi qua điểm $B (1; 3; 1)$ .

Ta có: $\frac{4}{1} \neq \frac{3}{2}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (2; 2; 1)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} |) = (4; - 7; 5)$

Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{A B} = 4.2 - 7.2 + 5.1 = - 1 \neq 0$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{A B}$ không đồng phẳng. Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.