Giải bài tập 6 trang 79

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3). a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính (cos widehat {BAC})

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \hat{B A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) A, B, C không thẳng hàng khi $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương.

b) Chu vi tam giác ABC bằng tổng độ dài ba cạnh.

c) Cho tam giác ABC có $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $C (c_{1}; c_{2}; c_{3})$ , ta có $G (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}; \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3}; \frac{a_{3} + b_{3} + c_{3}}{3})$ là trọng tâm của tam giác ABC.

d) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} = (6; - 3; 5), \vec{A C} = (2; - 1; - 3)$ .

$\vec{A B} \neq k \vec{A C}$ nên $\vec{A B}, \vec{A C}$ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: $A B = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{70}$ .

$A C = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{14}$ .

$\vec{B C} = (- 4; 2; - 8)$

$\Rightarrow B C = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}} = 2 \sqrt{21}$ .

Chu vi tam giác ABC là:

$A B + A C + B C = \sqrt{70}$ + $\sqrt{14}$ + $2 \sqrt{21}$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$G (\frac{- 2 + 4 + 0}{3}; \frac{3 + 0 + 2}{3}; \frac{0 + 5 - 3}{3}) \Rightarrow G (\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ .

d) $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \frac{6.2 - 3. (- 1) + 5. (- 3)}{\sqrt{70} . \sqrt{14}} = 0$ .