Giải bài tập 6 trang 85

Đề bài

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)$;

b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-3;-2\right)$ và $\overrightarrow{u_2}=\left(-3;4;1\right)$;

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng $\left(Q\right):2x+y-z-3=0$;

d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-6}{5}$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng (P):

$2\left(x+3\right)-4\left(y-1\right)+1.\left(z-4\right)=0$

$\iff 2x-4y+z+6=0$.

b) Ta có: $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& 4\end{array}\right|\right)$

$=\left(5;5;-5\right)$.

(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận $\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(1;1;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$x-2+y+1-\left(z-5\right)=0$

$\iff x+y-z+4=0$.

c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$.

Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:

$2\left(x-4\right)+y-\left(z+7\right)=0$

$\iff 2x+y-z-15=0$.

d) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$.

Vì (P) vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:

$2\left(x+4\right)+y-9+5\left(z-2\right)=0$

$\iff 2x+y+5z-11=0$.