Giải bài tập 6 trang 87

Đề bài

Tính độ dài đường gấp khúc $ABCDEGH$, biết các tam giác $OAB,OBC,OCD,ODE,OEG,OGH$ là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là $B,C,D,E,G,H$; các góc $O_1,O_2,O_3,O_4,O_5,O_6$ đều bằng ${30}^{\circ }$ và $OA=2cm$ (Hình 25).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$, ta có:

+) $AB=AO.\sin {30}^{\circ }=2.\sin {30}^{\circ }=1\left(cm\right)$.

+) $BO=AO.\cos {30}^{\circ }=2.\cos {30}^{\circ }=\sqrt{3}\left(cm\right)$.

Xét tam giác $BOC$ vuông tại $C$, ta có:

+) $BC=BO.\sin {30}^{\circ }=\sqrt{3}.\sin {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)$.

+) $CO=BO.\cos {30}^{\circ }=\sqrt{3}.\cos {30}^{\circ }=\frac{3}{2}\left(cm\right)$.

Xét tam giác $COD$ vuông tại $D$, ta có:

+) $CD=CO.\sin {30}^{\circ }=\frac{3}{2}.\sin {30}^{\circ }=\frac{3}{4}\left(cm\right)$.

+) $DO=CO.\cos {30}^{\circ }=\frac{3}{2}.\cos {30}^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(cm\right)$.

Xét tam giác $DOE$ vuông tại $E$, ta có:

+) $DE=DO.\sin {30}^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\left(cm\right)$.

+) $EO=DO.\cos {30}^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{8}\left(cm\right)$.

Xét tam giác $EOG$ vuông tại $G$, ta có:

+) $EG=EO.\sin {30}^{\circ }=\frac{9}{8}.\frac{1}{2}=\frac{9}{16}\left(cm\right)$.

+) $GO=EO.\cos {30}^{\circ }=\frac{9}{8}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{16}\left(cm\right)$.

Xét tam giác $GOH$ vuông tại $H$, ta có:

$GH=GO.\sin {30}^{\circ }=\frac{9\sqrt{3}}{16}.\frac{1}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{32}\left(cm\right)$.

Vậy độ dài đường gấp khúc $ABCDEGH$ là:

$ABCDEGH=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{32}=\frac{37\left(2+\sqrt{3}\right)}{32}\approx 4,3\left(cm\right)$.