Giải bài tập 7.11 trang 38

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. a) Chứng minh rằng ˆBAC=ˆBDCBAC^=BDC^\widehat {BAC} = \widehat {BDC}. b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.

Đề bài

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.

a) Chứng minh rằng $\hat{B A C} = \hat{B D C}$ .

b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đọc kĩ dữ kiện để vẽ hình

Áp dụng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Chứng minh $Δ$ BAM đồng dạng $Δ$ CDM suy ra tỉ lệ các cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\hat{B A C}$ và $\hat{B D C}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC nhỏ nên $\hat{B A C} = \hat{B D C}$ .

b) Xét $Δ$ BAM và $Δ$ CDM có

$\hat{B A M} = \hat{M D C}$ (cmt)

$\hat{A M B} = \hat{C M D}$ (đối đỉnh)

Suy ra $Δ$ BAM $∽$ $Δ$ CDM (g-g)

Nên $\frac{M A}{M B} = \frac{M D}{M C}$ hay MA.MC = MB.MD.