Giải bài tập 7 trang 18

Hộp sữa (1l) được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Đề bài

Hộp sữa $1 l$ được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm mối liên hệ giữa chiều cao và cạnh đáy, từ đó lập hàm số biểu diễn diện tích toàn phần của hộp theo x. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Đổi: 1 lít = 1000 $c m^{3}$ .

Gọi chiều cao của hộp là h (cm).

Thể tích của hộp là: $V = h . x^{2} = 1000 \Leftrightarrow h = \frac{1000}{x^{2}}$ .

Diện tích toàn phần của hộp là:

$S (x) = S_{x q} + S_{d a y} = 4 h x + 2 x^{2}$

$= 4. \frac{1000}{x^{2}} . x + 2 x^{2} = 2 x^{2} + \frac{4000}{x}$ .

Tập xác định: $D = (0; + \infty)$ .

$y^{'} = 4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 10$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{D} S (x) = S (10) = 600$ .

Vậy x = 10 cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 600 $c m^{2}$ .