Giải bài tập 7 trang 27

Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho hình thang (OABC) có (Aleft( {0;1} right)), (Bleft( {2;2} right)) và (Cleft( {2;0} right)) (hình dưới đây). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang (OABC) quanh trục (Ox).

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho hình thang $O A B C$ có $A (0; 1)$ , $B (2; 2)$ và $C (2; 0)$ (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $O A B C$ quanh trục $O x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình thang $O A B C$ được giới hạn bởi các đường thẳng $A B$ , $O C$ (trục hoành), $O A$ (trục tung, $x = 0$ ) và $B C$ $(x = 2)$ . Phương trình đường thẳng $A B$ là $y = f (x) = a x + b$ .

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang $O A B C$ quanh trục $O x$ là $V = π \int_{0}^{2} f^{2} (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

Hình thang $O A B C$ được giới hạn bởi các đường thẳng $A B$ , $O C$ (trục hoành), $O A$ (trục tung, $x = 0$ ) và $B C$ $(x = 2)$ .

Phương trình đường thẳng $A B$ là $y = f (x) = a x + b$ . Do $A (0; 1)$ , $B (2; 2)$ nên ta có hệ phương trình:

${\begin{matrix} a .0 + b = 1 \\ a .2 + b = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \end{cases}$

Vậy phương trình đường thẳng $A B$ là $y = \frac{1}{2} x + 1$ .

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang $O A B C$ quanh trục $O x$ là:

$V = π \int_{0}^{2} {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2} d x = π \int_{0}^{2} (\frac{1}{4} x^{2} + x + 1) d x$

$= π {(\frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{2} + x) |}_{0}^{2} = \frac{14 π}{3}$ .