Giải bài tập 7 trang 39

Đề bài

Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 21 m và rộng 70 m (Hình 33).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định hàm số biểu thị cho cửa trên hệ tọa độ Oxy rồi sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái.

Đồ thị hàm số biểu thị cho cửa trên hệ tọa độ có dạng: $y = a x^{2} + b x + c$ .

Đồ thị hàm số này đi qua điểm (0; 0) và có đỉnh là (35; 21) nên:

${\begin{cases} 0 = c \\ - \frac{b}{2 a} = 35 \\ - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 21 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = c \\ - \frac{b}{2 a} = 35 \\ - \frac{b^{2}}{4 a} = 21 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = c \\ b = \frac{6}{5} \\ a = - \frac{3}{175} \end{cases}$

$\Rightarrow y = - \frac{3}{175} x^{2} + \frac{6}{5} x$ .

Diện tích kính cần lắp là:

$\int_{0}^{70} (- \frac{3}{175} x^{2} + \frac{6}{5} x) d x = {(\frac{- x^{3}}{175} + \frac{3 x^{2}}{5}) |}_{0}^{70} = 980$ $m^{2}$ .