Giải bài tập 7 trang 60

Đề bài

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian $O x y z$ , cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là $a : {\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 t \end{cases}$ và $b : {\begin{cases} x = 1 + 4 t^{'} \\ y = 2 + 2 t^{'} \\ z = 6 \end{cases}$ .

a) Chứng minh $a$ , $b$ vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của $a$ và $b$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Viết các vectơ chỉ phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ lần lượt của $a$ và $b$ . Để chứng minh $a$ và $b$ vuông góc với nhau, ta cần chứng minh tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b} = 0$ . Để chứng minh $a$ và $b$ cắt nhau, lấy một điểm $A$ bất kì thuộc $a$ và một điểm $B$ bất kì thuộc $b$ , sau đó chứng minh $[\vec{a}, \vec{b}] . \vec{A B} = 0$ .

b) Giải hệ phương trình để tìm giá trị của $t$ và $t^{'}$ , từ đó tìm được toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a) Trục $a$ của mũi khoan đi qua điểm $A (1; 2; 0)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{a} = (0; 0; 3)$ .

Đường rãnh $b$ trên vật cần khoan đi qua điểm $B (1; 2; 6)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{b} = (4; 2; 0)$ .

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0$ , suy ra $a$ và $b$ vuông góc với nhau.

Mặt khác, ta lại có $[\vec{a}, \vec{b}] = (- 6; 12; 0)$ và $\vec{A B} = (0; 0; 6)$ .

Suy ra $[\vec{a}, \vec{b}] . \vec{A B} = (- 6) .0 + 12.0 + 0.6 = 0$ , tức là $a$ và $b$ cắt nhau.

b) Xét hệ phương trình ${\begin{cases} 1 = 1 + 4 t^{'} \\ 2 = 2 + 2 t^{'} \\ 3 t = 6 \end{cases}$ .

Ở hai phương trình đầu, ta có $t^{'} = 0$ . Ở phương trình cuối cùng, ta có $t = 2$ .

Vậy $t^{'} = 0$ và $t = 2$ là nghiệm duy nhất của hệ. Suy ra toạ độ giao điểm là $(1; 2; 6)$ .