Giải bài tập 7 trang 74

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta$ABM và $\Delta$ADN ta có:

AB = AD

$\widehat{ABM}=\widehat{ADN}(={90}^o)$

$\widehat{BAM}=\widehat{NAD}$(cùng phụ với $\widehat{DAM}$)

Do đó $\Delta$ABM = $\Delta$ADN (g.c.g)

b) Ta có AM = AN (do $\Delta$ABM = $\Delta$ADN)

Suy ra $\Delta$ AMN cân tại A

Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)

Nên AO cũng là đường cao suy ra AO $\perp$ NM tại O.

Tam giác ABM vuông tại B và tam giác AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM nên tứ giác ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Tam giác ADN vuông tại D và tam giác AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN nên tứ giác AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Tam giác NAM vuông tại A (do góc xAy vuông) và tam giác NCM vuông tại C cùng nội tiếp đường tròn đường kính MN nên tứ giác AMCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MN.

Điểm O là trung điểm của MN nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.

Suy ra OA = OC suy ra O thuộc đường trung trực của AC.

Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông) nên D và B thuộc đường trung trực của AC.

Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.