Giải bài tập 7 trang 77

Tính góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + {t_1}\y = 4 + sqrt 3 {t_1}\z = 0end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + sqrt 3 {t_2}\y = 4 + {t_2}\z = 5end

Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + t_{1} \\ y = 4 + \sqrt{3} t_{1} \\ z = 0 \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} \\ y = 4 + t_{2} \\ z = 5 \end{cases}$ ( $t_{1}, t_{2}$ là tham số);

b) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 3 + t \\ z = 4 - t \end{cases}$ (t là tham số) và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 2}{- 1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; \sqrt{3}; 0)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (\sqrt{3}; 1; 0)$ .

Ta có: $\cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |} = \frac{| 1. \sqrt{3} + \sqrt{3} .1 + 0.0 |}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 0^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 30^{o}$

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 1)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (3; 1; - 2)$ .

Ta có: $\cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |} = \frac{| 2.3 + 1.1 + (- 1) . (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ nên $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 11^{o}$

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 1; - 1)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 1; 3; 1)$ .

Ta có: $\cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |} = \frac{| 1. (- 1) + 3.1 + 1. (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{33}}{33}$ nên $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 80^{o}$ .